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Spectral Theory of Random Schrodinger Operators (Probability by R. Carmona

By R. Carmona

Because the seminal paintings of P. Anderson in 1958, localization in disordered platforms has been the thing of extreme investigations. Mathematically conversing, the phenomenon could be defined as follows: the self-adjoint operators that are used as Hamiltonians for those structures have a 10­ dency to have natural element spectrum, specially in low size or for giant disease. loads of attempt has been dedicated to the mathematical examine of the random self-adjoint operators suitable to the speculation of localization for disordered platforms. it's reasonable to assert that growth has been made and that the un­ derstanding of the phenomenon has greater. this doesn't suggest that the topic is closed. certainly, the variety of vital difficulties truly solved isn't better than the variety of these closing. allow us to point out the various latter: • an explanation of localization in any respect energies continues to be lacking for 2 dimen­ sional platforms, notwithstanding it may be inside accessible variety. in terms of the 2 dimensional lattice, this challenge has been approached via the research of a finite discrete band, however the restricting professional­ cedure essential to succeed in the entire two-dimensional lattice hasn't ever been managed. • The smoothness homes of the density of states appear to break out all makes an attempt in measurement higher than one. This challenge is especially critical within the non-stop case the place one doesn't even be aware of whether it is non-stop.

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Beweis. a) 1✐ F¨ ur ϕ ∈ Eu (Ω) gilt supp ϕ ∩ supp u ⊆ K f¨ ur eine kompakte Menge K ⊆ Ω . 6 gibt es η ∈ D (Ω) mit η(x) = 1 nahe K . Dann gilt offenbar ϕ = ηϕ + (1 − η)ϕ =: ϕ1 + ϕ2 mit ϕ1 ∈ D (Ω) und supp ϕ2 ∩ supp u = ∅ . 2✐Ist nun u : Eu (Ω) → C eine Fortsetzung von u mit den angegebenen Eigenschaften, so muss u(ϕ) = u(ϕ1 ) + u(ϕ2 ) = u(ϕ1 ) gelten; u ist also eindeutig bestimmt. 3✐ Wegen 2✐ m¨ ochte man nun u(ϕ) := u(ϕ1 ) definieren. Dazu sei ϕ = ϕ1 + ϕ2 eine weitere Zerlegung wie in 1✐. Dann ist ϕ1 − ϕ = ϕ − ϕ2 ∈ D (Ω) und u(ϕ1 − ϕ ) = 0 1 2 1 wegen supp(ϕ2 − ϕ2 ) ∩ supp u = ∅ .

2 2 2 b) F¨ ur eine Funktion g ∈ Lloc 1 (R) gilt zwar (∂t −c ∂x )g(x±ct) = 0 im Sinne von (18), doch m¨ ussen die individuellen schwachen Ableitungen ∂t2 g(x ± ct) und ∂t2 g(x ± ct) in loc 2 L1 (R ) nicht immer existieren. c) Diese existieren jedoch stets im Distributionssinn. F¨ ur f ∈ Lloc 1 (Ω) kann man n¨ amlich die rechte Seite von (19) immer als Ableitung von f nach xj auffassen mittels einer auf L. Schwartz (1950) zur¨ uckgehenden Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. a) Funktionen f auf einer offenen Menge Ω ⊆ Rn ordnen jedem Punkt x ∈ Ω einen Wert f (x) ∈ C zu.

Die Funktion f : x → e /x liegt in C ∞ (R\{0}) und strebt f¨ ur x → 0 sehr schnell gegen +∞ . Die entsprechende Distribution uf ∈ D (R\{0}) besitzt keine Fortsetzung u ∈ D (R) : 1 2 42 2 Distributionen Dazu w¨ ahlen wir eine Abschneidefunktion χ ∈ D (R) mit χ ≥ 0 , supp χ ⊆ [−2,2] und e− χ(x) = 1 f¨ ur x ∈ [−1,1] , setzen ϕ(x) := χ(x) 1/ x , x>0 und definieren 0 , x≤0 ur 0 < ε < 1 . Dann gilt ϕε ∈ D (R) mit supp ϕε ⊆ (0,3] , und ϕε (x) := ϕ(x − ε) f¨ (k) wegen ϕε (x) = ϕ(k) (x − ε) ist die Menge {ϕε | 0 < ε < 1} im Fr´echetraum D [0,3] beschr¨ ankt.

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