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Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einfuhrung by Prof. Dr. Michael Růžička (auth.)

By Prof. Dr. Michael Růžička (auth.)

Das vorliegende Lehrbuch enthält eine Einführung in die nichtlineare Funktionalanalysis. Die Themenauswahl beinhaltet Methoden und Techniken, die, neben dem allgemeinen Interesse, bei der Untersuchung von nichtlinearen elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen benutzt werden. Es wird insbesondere auf Fixpunktsätze, Differentiation und Integration in Banachräumen, monotone Operatoren und den Abbildungsgrad eingegangen. Der Darstellung des Stoffes liegt das Zusammenspiel und die gegenseitige Beeinflussung von Theorie und Anwendungen zugrunde. Kurze Einführungen am Kapitelanfang, illustrative Beispiele sowie die detaillierte Herleitung von Ergebnissen erleichtern das Verständnis. Ein Appendix mit einer Kurzzusammenfassung von Ergebnissen aus der linearen Funktionalanalysis rundet die Darstellung ab. Das Buch richtet sich an Studierende ab dem 6. Semester und umfasst den Lehrstoff für ein Semester.

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54). 54) folgt sofort, dass die L¨osung x stetig differenzierbar ist, da f stetig ist. 56) wobei Ω ein beschr¨ anktes glattes Gebiet des Rd ist, f : R → R eine gegebene Funktion und der Laplace–Operator durch d ∂i2 u ∆u := i=1 definiert ist. 57 Satz. Sei Ω ein beschr¨ anktes glattes Gebiet des Rd und f ∈ C 0 (R) eine gegebene, beschr¨ ankte Funktion. h. f¨ 5 Formulierung: ∇u · ∇ϕ dx = Ω f (u) ϕ dx . 58) Ω Beweis . h. f¨ ur alle u, ϕ ∈ W01,2 (Ω) gilt: [u, ϕ] ≤ c0 u [u, u] ≥ c1 u ϕ W01,2 2 W01,2 W01,2 , .

H. der Bildbereich von Pn liegt in einem endlich-dimensionalen Teilraum von Y . 45) folgt und somit auch Pn (M ) ist beschr¨ Pn x ≤ Pn x − T x + T x ≤ 1 + c, n da T kompakt ist und somit T (M ) beschr¨ ankt ist (cf. 1). Also erhalten wir, dass die Menge Pn (M ) relativ kompakt ist. 44) und (α) ist Pn stetig. Insgesamt ist also Pn ein kompakter Operator. 46 Satz (Schauder 1930). Sei T : M ⊆ X → M stetig, wobei X ein Banachraum ist und M eine nichtleere, konvexe, kompakte Teilmenge. Dann besitzt T einen Fixpunkt.

Dies 1 1 − x0 2 y0 , woraus folgt 1 (1 − x0 ) > 0 , 2 αi = αi−1 , α0 − α−1 = i = 0. Insgesamt ergibt sich also . . α−2 = α−1 < α0 = α1 . . , und somit i∈Z |αi |2 = ∞, was ein Widerspruch ist. h. die Annahme muss falsch sein. Also hat f keinen Fixpunkt. 2 Die Fixpunkts¨ atze von Brouwer und Schauder 23 Aus diesem Gegenbeispiel lernen wir, dass in unendlich–dimensionalen Banachr¨ aumen stetige Abbildungen nicht unbedingt einen Fixpunkt haben m¨ ussen. Es ist also notwendig, st¨ arkere Forderungen an die Abbildungen zu stellen.

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