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Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte by Hans Wilhelm Alt

By Hans Wilhelm Alt

Die lineare Funktionalanalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Algebra mit Topologie und research verbindet. Das Buch führt in das Fachgebiet ein, dabei bezieht es sich auf Anwendungen in Mathematik und Physik. Neben den vollständigen Beweisen aller mathematischen Sätze enthält der Band zahlreiche Aufgaben, meist mit Lösungen. Für die Neuauflage wurden die Inhalte komplett überarbeitet. Das Standardwerk auf dem Gebiet der Funktionalanalysis richtet sich insbesondere an Leser mit Interesse an Anwendungen auf Differentialgleichungen.

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Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung

Die lineare Funktionalanalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Algebra mit Topologie und research verbindet. Das Buch führt in das Fachgebiet ein, dabei bezieht es sich auf Anwendungen in Mathematik und Physik. Neben den vollständigen Beweisen aller mathematischen Sätze enthält der Band zahlreiche Aufgaben, meist mit Lösungen.

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5 Beispiele stetiger Abbildungen. (1) Seien 7 i , T2 zwei Topologien auf X. Dann ist die Identitdt Id : X ^ X , definiert durch Id(x) := x, stetig von (X, 72) nach (X, 7i) genau dann, wenn 72 starker als 7i ist. (2) Ist (X, d) metrischer R a u m , so ist G? : X x X ^ IR stetig. (3) Ist (X, ||«||) normierter R a u m , so ist die Norm eine stetige Abbildung von X nach IR. || die zugehorige Norm und betrachte X bzgl. dieser Norm als normierten Raum. Dann ist das Skalarprodukt eine stetige Abbildung von X x X nach K.

10 OfFene und abgeschlossene Mengen. Sei {X,d) ein metrischer Raum. Fiir A C X ist das Innere von A (oder der offene Kern, Bezeichnung: intr (A) oder A) definiert durch intr (A) := {x e X ; Bs{x) C A fiir ein e > 0 } C A , und der Abschluss von A (oder die abgeschlossene clos {A) oder A) definiert durch clos (A) := [x eX Hillle, Bezeichnung: ] B^(x) n A 7^ 0 fiir alle e > 0 } Z) A . Es gilt X G clos (A) genau dann, wenn dist(x,A) = 0. Mit Quantoren geschrieben lauten obige Definitionen z. B. xGclos(A) ^^ Ve > 0 : B ^ ( x ) n A 7 ^ 0 , X e intr (A) <^^ 3 s>0 : B^(x) \ A = 0 , oder X e intr (A) <^^ 3 s >0 \f y e Be(x) : y e A , X G clos (A) <^^ V £ > 0 3 y e B^ix) : y e A .

4) Ist S C IR^ beschrankt und abgeschlossen (d. h. 2 erzeugten iiberein. 2). Beweis (2). 20(1). l). 2, gibt es Funktionen Qi G C^{Ki]Y) mit Wfk - QiWc^^Ki) ^ 0 fiir /;: ^ oo, insbesondere fk{x) -^ gi{x) fiir k ^ oo fiir alle x G Ki. Daher ist gi^ = gi^ auf Ki^ n Ki^ fiir alle ii,i2 G IN, also existiert eine Funktion f : S ^ Y mit f = gi auf Ki fiir alle i. Es ist / eine stetige Funktion, denn zu x G 5 ist 5 H Bs{x) C Ki fiir ein S > 0 und ein i G ]N. Dann ist f = gi auf S H B(5(x), also in x stetig.

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