By N. Bourbaki
Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce cinquième chaptire du Livre d Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, traite notamment d une generalisation du théorème des Lebesgue-Fubini et du théorème de Lebesque-Nikodym. Il contient également des notes historiques. Ce quantity est une réimpression de l édition de 1967.
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Example text
Pour qu'une application f de T dans un PROPOSITION espace topologique G soit mesurable pour la mesure u . O, il faut et il sufit que la restriction de f à l'ensemble O-mesurable S des t tels que u(t) # O soit 8-mesurable. Lorsque u et O sont positives, cela résulte aussitôt de la prop. 3 du 5 4, no 3. Le résultat s'étend alors au cas où u et 8 sont complexes grâce à la prop. 2. -Soit f une fonction définie dans T , à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R. Pour que f soit ( u . O)mesurable, il faut et il sufit que u f soit O-mesurable.
3)' et que 2) entraîne 3). Nous allons montrer que 3) entraîne 1). Notons d'abord que, si la condition 3) est remplie, tout ensemble A, universellement mesurable et localement p-négligeable, est localement v-négligeable; on a en effet ve(A) = sup v(K), K parcourant l'ensemble des compacts contenus dans A (§ 1, no 3, prop. 10, a) et chap. , 5 4, no 6, cor. 2 du th. 4). Nous établirons ensuite deux lemmes. THÉORÈME Lemme 2. S o i e n t a une mesure positive bornée sur T, /j une mesure réelle sur T telle que 1/31 d Ma, o ù M est une constante positive.
P ; la condition pe(gf) < + cn équivaut à la condition v,(f) < + cn : autrement dit, g est localement p-intégrable si et = 1 atA seulement si la famille (va)est sommable. Si l'on désigne alors par v la somme de cette famille, le calcul précédent donne l'égalité v(f ) = pe(gf), qui équivaut à (8). Soit (g,) une suite de jbnctions numériques localement p-intégrables, et telle que la suite des mesures g,, . p soit croissante. Pour que cette suite soit majorée dans l'espace vectoriel ordonné A(T) des mesures sur T, il faut et il sufit que la fonction g = sup g, soit localement p-intégrable; la borne supérieure dans A(T) de la suite (g, .
