By Winfried Kaballo
In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.
Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.
Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der web site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.
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Best functional analysis books
A panorama of harmonic analysis
Tracing a course from the earliest beginnings of Fourier sequence via to the newest learn A landscape of Harmonic research discusses Fourier sequence of 1 and several other variables, the Fourier remodel, round harmonics, fractional integrals, and singular integrals on Euclidean area. The climax is a attention of principles from the perspective of areas of homogeneous kind, which culminates in a dialogue of wavelets.
This ebook introduces most crucial points of contemporary research: the idea of degree and integration and the speculation of Banach and Hilbert areas. it really is designed to function a textual content for first-year graduate scholars who're already conversant in a few research as given in a booklet just like Apostol's Mathematical research.
Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung
Die lineare Funktionalanalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Algebra mit Topologie und research verbindet. Das Buch führt in das Fachgebiet ein, dabei bezieht es sich auf Anwendungen in Mathematik und Physik. Neben den vollständigen Beweisen aller mathematischen Sätze enthält der Band zahlreiche Aufgaben, meist mit Lösungen.
- Bound States of the Magnetic Schrödinger Operator
- Topics in Almost Automorphy
- Difference equations and inequalities: theory, methods, and applications
- Pseudo-Differential Operators: Complex Analysis and Partial Differential Equations (Operator Theory: Advances and Applications)
- Real Variable Methods in Fourier Analysis
- Analisi Matematica II
Additional resources for Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: Distributionen - lokalkonvexe Methoden - Spektraltheorie
Example text
Beweis. a) 1✐ F¨ ur ϕ ∈ Eu (Ω) gilt supp ϕ ∩ supp u ⊆ K f¨ ur eine kompakte Menge K ⊆ Ω . 6 gibt es η ∈ D (Ω) mit η(x) = 1 nahe K . Dann gilt offenbar ϕ = ηϕ + (1 − η)ϕ =: ϕ1 + ϕ2 mit ϕ1 ∈ D (Ω) und supp ϕ2 ∩ supp u = ∅ . 2✐Ist nun u : Eu (Ω) → C eine Fortsetzung von u mit den angegebenen Eigenschaften, so muss u(ϕ) = u(ϕ1 ) + u(ϕ2 ) = u(ϕ1 ) gelten; u ist also eindeutig bestimmt. 3✐ Wegen 2✐ m¨ ochte man nun u(ϕ) := u(ϕ1 ) definieren. Dazu sei ϕ = ϕ1 + ϕ2 eine weitere Zerlegung wie in 1✐. Dann ist ϕ1 − ϕ = ϕ − ϕ2 ∈ D (Ω) und u(ϕ1 − ϕ ) = 0 1 2 1 wegen supp(ϕ2 − ϕ2 ) ∩ supp u = ∅ .
2 2 2 b) F¨ ur eine Funktion g ∈ Lloc 1 (R) gilt zwar (∂t −c ∂x )g(x±ct) = 0 im Sinne von (18), doch m¨ ussen die individuellen schwachen Ableitungen ∂t2 g(x ± ct) und ∂t2 g(x ± ct) in loc 2 L1 (R ) nicht immer existieren. c) Diese existieren jedoch stets im Distributionssinn. F¨ ur f ∈ Lloc 1 (Ω) kann man n¨ amlich die rechte Seite von (19) immer als Ableitung von f nach xj auffassen mittels einer auf L. Schwartz (1950) zur¨ uckgehenden Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. a) Funktionen f auf einer offenen Menge Ω ⊆ Rn ordnen jedem Punkt x ∈ Ω einen Wert f (x) ∈ C zu.
Die Funktion f : x → e /x liegt in C ∞ (R\{0}) und strebt f¨ ur x → 0 sehr schnell gegen +∞ . Die entsprechende Distribution uf ∈ D (R\{0}) besitzt keine Fortsetzung u ∈ D (R) : 1 2 42 2 Distributionen Dazu w¨ ahlen wir eine Abschneidefunktion χ ∈ D (R) mit χ ≥ 0 , supp χ ⊆ [−2,2] und e− χ(x) = 1 f¨ ur x ∈ [−1,1] , setzen ϕ(x) := χ(x) 1/ x , x>0 und definieren 0 , x≤0 ur 0 < ε < 1 . Dann gilt ϕε ∈ D (R) mit supp ϕε ⊆ (0,3] , und ϕε (x) := ϕ(x − ε) f¨ (k) wegen ϕε (x) = ϕ(k) (x − ε) ist die Menge {ϕε | 0 < ε < 1} im Fr´echetraum D [0,3] beschr¨ ankt.
