By Siegmund Brandt
Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.
Read Online or Download Analyse empirischer und experimenteller Daten: Ein kompakter Überblick für Studierende und Anwender PDF
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Die Fehler können korreliert sein. Die Kovarianz zwischen den Messfehlern ti und si sei ci . Gesucht ist die an die Messungen angepasste Gerade. Wir treffen jetzt eine Zuordnung der ti , si zum n-Vektor y unserer Messgrößen: y1 = t1 , y2 = s1 , . . , yn−1 = tn/2 , yn = sn/2 . 28 4 Die Methode der kleinsten Quadrate Abb. 3 Anpassung einer Geraden an 4 Messpunkte in der (t, s)-Ebene. Die Punkte sind mit Meßfehlern (in t und s) und Kovarianzellipsen dargestellt Die Kovarianzmatrix ist ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Cy = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ( t1 )2 c1 0 0 c1 ( s1 )2 0 0 0 0 ( t2 )2 c2 0 0 c2 ( s2 )2 ⎞ ..
3 Indirekte Messungen. 3 25 Indirekte Messungen. Nichtlinearer Fall Im Allgemeinen hängt die anzupassende Funktion nicht nur linear von den unbekannten Parametern ab. Wir haben dann die Ausgangsgleichungen fj (x, η) = ηj − hj (x) = 0 , j = 1, 2, . . , n . Wir können diesen Fall jedoch auf den linearen zurückführen, wenn wir die fj nach Taylor entwickeln und die entstandene Reihe nach dem ersten Glied abbrechen. Wir führen die Reihenentwicklung an dem „Punkt“ x0 = (x10 , x20 , . . , xr0 ) durch, der eine erste Näherung der Unbekannten darstellt, die man sich auf irgendeine Weise verschafft hat, fj (x, η) = fj (x0 , η) + Definieren wir jetzt ∂fj ∂x1 (x1 − x10 ) + · · · + x0 ⎛ x1 − x10 ∂fj ∂xr (xr − xr0 ) .
C + Aξ schreiben, die ihre Entsprechung in Abschn. 1 findet, nur dass hier ξ statt x steht. Damit ist die Lösung ξ = −(AT Gy A)−1 AT Gy c . 26 4 Die Methode der kleinsten Quadrate Mit ξ findet man eine bessere Näherung x1 = x0 + ξ und berechnet neue Werte von A und c an der Stelle x1 . Eine Lösung ξ mit diesen Werten liefert x2 = x1 + ξ usw. Dieses iterative Verfahren kann abgebrochen werden, wenn die Minimum-Funktion im gerade ausgeführten Schritt im Vergleich zum Ergebnis des vorhergehenden Schrittes nicht mehr wesentlich gesunken ist.
